學好數學要依靠理解，“數學理解”應受到數學教育界的普遍關注。“反函數”是函數知識的重要組成部分，也是函數教學中的重點和難點，反函數的定義是什麼?以下是本站小編為大家整理的關於反函數的定義，歡迎大家前來閲讀!
反函數的概念
所謂反函數就是將原函數中自變量與變量調換位置，用原函數的變量表示自變量而形成的函數。存在反函數的條件是原函數必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)。
函數的定義
一般地，如果x與y關於某種對應關係f(x)相對應，y=f(x)。則y=f(x)的反函數為y=f^-1(x)。
存在反函數的條件是原函數必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)
【反函數的性質】
(1)互為反函數的兩個函數的圖象關於直線y=x對稱;
(2)函數存在反函數的充要條件是，函數的定義域與值域是一一映射;
(3)一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致;
(4)一般的偶函數一定不存在反函數(但一種特殊的偶函數存在反函數,例f(x)=a(x=0)它的反函數是f(x)=0(x=a)這是一種極特殊的函數)，奇函數不一定存在反函數。若一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。
(5)一切隱函數具有反函數;
(6)一段連續的函數的單調性在對應區間內具有一致性;
(7)嚴格增(減)的函數一定有嚴格增(減)的反函數【反函數存在定理】。
(8)反函數是相互的
(9)定義域、值域相反對應法則互逆(三反)
(10)原函數一旦確定，反函數即確定(三定)
例：y=2x-1的反函數是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函數是y=log2 x
例題：求函數3x-2的反函數
解：y=3x-2的定義域為R，值域為R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數是
y=1/3(x+2)
反函數的基本性質
一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關係，用y把x表示出，得到x= (y). 若對於y在C中的任何一個值，通過x= (y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那麼，x= (y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數x= (y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f^-1(y). 反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域.
説明：⑴在函數x=f^-1(y)中，y是自變量，x是函數，但習慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數，為此我們常常對調函數x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^-1(x)，今後凡無特別説明，函數y=f(x)的反函數都採用這種經過改寫的形式.
⑵反函數也是函數，因為它符合函數的定義. 從反函數的定義可知，對於任意一個函數y=f(x)來説，不一定有反函數，若函數y=f(x)有反函數y=f^-1(x)，那麼函數y=f^-1(x)的反函數就是y=f(x)，這就是説，函數y=f(x)與y=f^-1(x)互為反函數.
⑶從映射的定義可知，函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f^-1(x)的值域;函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f^-1(x)的定義域(如下表)：
函數y=f(x)
反函數y=f^-1(x)
定義域
A C
值 域
C A
⑷上述定義用“逆”映射概念可敍述為：
若確定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域“上”的“一一映射”，那麼由f的“逆”映射f^-1所確定的函數x=f^-1(x)就叫做函數y=f(x)的反函數. 反函數x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域.
開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數就可以寫為f^-1(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數為：f^-1(x)=x/2-3.
有時是反函數需要進行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進行分類討論：在X大於0時的情況，X小於0的情況，多是要注意的。一般分數函數的反函數的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a
反函數的應用介紹
直接求原函數的值域困難時，可以通過求其反函數的定義域來確定原函數的值域，求反函數的步驟是這樣的：
1、先求出反函數的定義域，因為原函數的值域就是反函數的定義域;
(我們知道函數的三要素是定義域、值域、對應法則，所以先求反函數的定義域是求反函數的第一步)
2、反解x，也就是用y來表示x;
3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x;
4、寫出原函數及其值域。
實例：y=2x+1(值域：任意實數) x=(y-1)/2 y=(x-1)/2(x取任意實數)
特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意一個反比例函數，它的反函數都是它本身。
反函數求解三步驟： 1、換：X、Y換位 2、解：解出Y 3、標：標出定義域
反函數的使用符號
符號
arc
用法
例：三角函數中
正弦函數和它的反函數：f(x)=sinx->x=arcsinx
餘弦函數和它的反函數：f(x)=cosx->x=arccosx
正切函數和它的反函數：f(x)=tanx ->x=arctanx
餘切函數和它的反函數：f(x)=cotx->x=arccotx
註解
反正弦的意義 ，則符合條件sinx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦，記作：arcsina，即x=arcsina. 注：1、“arcsina”表示中的一個角，其中-1≤a≤1. 2、sin(arcsina)=a. (二)、反餘弦的意義 x∈[0，π]，則符合條件cosx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反餘弦，記作arccosa，即x=arccosa. 注：1、“arccosa”表示[0，π]中的一個角，其中-1≤a≤1. 2、cos(arccosa)=a. (三)、反正切的意義 ，則符合條件tanx=a的角x叫做a的反正切，記作arctana，即x=arctana. 注：1、“arctana”表示中的一個角. 2、tan(arctana)=a. (四)、用反三角符號表示[0，2π]中角的一般規律
反函數的相關説明
⑴在函數x=f^(-1)(y)中，y是自變量，x是函數，但習慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數，為此我們常常對調函數x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^(-1)(x)，今後凡無特別説明，函數y=f(x)的反函數都採用這種經過改寫的形式。
⑵反函數也是函數，因為它符合函數的定義. 從反函數的定義可知，對於任意一個函數y=f(x)來説，不一定有反函數，若函數y=f(x)有反函數y=f^(-1)(x)，那麼函數y=f’(x)的反函數就是y=f^(-1)(x)，這就是説，函數y=f(x)與y=f^(-1)(x)互為反函數。
⑶互為反函數的兩個函數在各自定義域內有相同的單調性。單調函數才有反函數，如二次函數在R內不是反函數，但在其單調增(減)的定義域內，可以求反函數。
⑷ 從映射的定義可知，函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f^(-1)(x)的值域;函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f^(-1)(x)的定義域(如下表)：
函數：y=f(x);
反函數：y=f^(-1)(x);
定義域： A C;
值域： C A;
⑷上述定義用“逆”映射概念可敍述為：
若確定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域“上”的“一一映射”，那麼由f的“逆”映射f^-1所確定的函數y=f^(-1)(x)就叫做函數y=f(x)的反函數. 反函數y=f‘(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域. 開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數就可以寫為f^(-1)(s)=s/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數為：f^(-1)(x)=x/2-3.
有時是反函數需要進行分類討論，如：f(x)=x+1/x，需將x進行分類討論：在x大於0時的情況，x小於0的情況，多是要注意的。一般分數函數的反函數的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a
學問齋